机器人运动学
1. 机器人运动学概述
1.1 什么是机器人运动学
机器人运动学是研究机器人运动的几何学分支，主要关注机器人的位置、姿态、速度和加速度等运动学特性，而不考虑产生这些运动的力和力矩。它是机器人学的基础，为机器人的设计、控制和规划提供了理论基础。
1.2 机器人运动学的研究内容
机器人运动学主要研究以下内容：
- 位姿表示：如何描述机器人末端执行器的位置和姿态
- 正运动学：已知关节变量，计算末端执行器的位姿
- 逆运动学：已知末端执行器的位姿，计算关节变量
- 速度运动学：研究关节速度与末端执行器速度之间的关系
- 加速度运动学：研究关节加速度与末端执行器加速度之间的关系
- 工作空间分析：分析机器人末端执行器能够到达的空间范围
1.3 机器人运动学的重要性
机器人运动学的重要性体现在以下几个方面：
- 机器人设计：为机器人的机械结构设计提供理论依据
- 轨迹规划：为机器人的轨迹规划提供基础
- 运动控制：为机器人的精确控制提供计算方法
- 任务编程：为机器人的任务编程提供工具
- 仿真模拟：为机器人的仿真模拟提供核心算法
2. 位姿表示方法
2.1 位置表示
机器人的位置通常在三维空间中表示，可以使用以下方法：
- 笛卡尔坐标系：使用(x, y, z)坐标表示位置
- 柱坐标系：使用(r, θ, z)坐标表示位置
- 球坐标系：使用(r, θ, φ)坐标表示位置
在机器人学中，最常用的是笛卡尔坐标系，它直观且易于计算。
2.2 姿态表示
机器人的姿态表示相对复杂，常用的方法有：
旋转矩阵
旋转矩阵是一个3×3的正交矩阵，满足R^T R = I，det(R) = 1。它表示从一个坐标系到另一个坐标系的旋转变换。
优点：数学性质好，易于计算
缺点：有9个元素，但只有3个自由度，存在冗余
欧拉角
欧拉角使用三个角度(α, β, γ)来表示姿态，分别对应绕不同轴的旋转。常见的欧拉角顺序有ZYX、XYZ等。
优点：直观，易于理解
缺点：存在万向锁问题（当第二个角度为±90°时，会失去一个自由度）
四元数
四元数是一种超复数，使用四个元素(q0, q1, q2, q3)来表示姿态，其中q0是实部，q1, q2, q3是虚部。
优点：不存在万向锁问题，计算效率高
缺点：不够直观，理解难度较大
轴角表示
轴角表示使用一个单位向量(nx, ny, nz)和一个角度θ来表示姿态，表示绕该轴旋转θ角度。
优点：直观，几何意义明确
缺点：在插值时不如四元数方便
2.3 位姿的齐次变换
齐次变换将位置和姿态组合在一个4×4的矩阵中，方便进行坐标变换。
齐次变换矩阵的形式为：
[R | p]
[0 | 1]其中R是3×3的旋转矩阵，p是3×1的位置向量。
优点：可以同时表示平移和旋转，方便进行复合变换
缺点：矩阵维度较高，计算量较大
3. 正运动学
3.1 正运动学的定义
正运动学（Forward Kinematics，简称FK）是指已知机器人各关节的角度或位移，计算末端执行器在基坐标系中的位置和姿态的过程。
3.2 Denavit-Hartenberg参数法
Denavit-Hartenberg参数法（简称DH参数法）是一种广泛使用的机器人正运动学建模方法，它通过为每个关节分配4个参数(α, a, d, θ)来描述机器人的几何结构。
DH参数的定义：
- α_i：第i-1个Z轴与第i个Z轴之间的夹角，绕第i个X轴测量
- a_i：第i-1个Z轴与第i个Z轴之间的距离，沿第i个X轴测量
- d_i：第i个X轴与第i个Z轴的交点到第i个X轴与第i+1个Z轴的交点的距离，沿第i个Z轴测量
- θ_i：第i-1个X轴与第i个X轴之间的夹角，绕第i个Z轴测量
3.3 连杆变换矩阵
根据DH参数，可以计算出每个连杆的变换矩阵：
T_i = [cosθ_i -sinθ_i·cosα_i sinθ_i·sinα_i a_i·cosθ_i]
[sinθ_i cosθ_i·cosα_i -cosθ_i·sinα_i a_i·sinθ_i]
[0 sinα_i cosα_i d_i ]
[0 0 0 1 ]3.4 正运动学计算
机器人末端执行器的位姿可以通过将所有连杆的变换矩阵相乘得到：
T_EE = T_1 × T_2 × ... × T_n其中T_EE是末端执行器相对于基坐标系的变换矩阵，T_i是第i个连杆的变换矩阵。
3.5 正运动学的实例
以PUMA 560机器人为例，它是一个6自由度的串联机器人，各关节的DH参数如下：
| 关节i | α_i (°) | a_i (mm) | d_i (mm) | θ_i (°) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 620 | θ1 |
| 2 | -90 | 431.8 | 0 | θ2 |
| 3 | 0 | -20.3 | 150.05 | θ3 |
| 4 | -90 | 0 | 431.8 | θ4 |
| 5 | 90 | 0 | 0 | θ5 |
| 6 | -90 | 0 | 56.25 | θ6 |
根据这些参数，可以计算出末端执行器的位姿。
4. 逆运动学
4.1 逆运动学的定义
逆运动学（Inverse Kinematics，简称IK）是指已知机器人末端执行器的位置和姿态，计算各关节角度或位移的过程。
4.2 逆运动学的解
逆运动学的解可能有以下几种情况：
- 唯一解：只有一个关节配置满足要求
- 多个解：有多个关节配置满足要求
- 无解：末端执行器的位姿在工作空间之外
4.3 逆运动学的求解方法
解析法
解析法通过数学推导，直接得到逆运动学的解析解。它适用于结构简单的机器人，如6自由度的串联机器人。
优点：计算速度快，结果准确
缺点：只适用于特定结构的机器人，推导过程复杂
数值法
数值法通过迭代计算，逐步逼近逆运动学的解。它适用于各种结构的机器人。
常用的数值法：
- 牛顿-拉夫逊法：基于梯度下降的迭代方法
- 阻尼最小二乘法：在牛顿法的基础上增加阻尼项，提高稳定性
- 遗传算法：基于进化原理的全局优化方法
- 粒子群优化：基于群体智能的优化方法
优点：适用于各种结构的机器人
缺点：计算速度较慢，可能陷入局部最优
4.4 逆运动学的实例
以2自由度平面机器人为例，它的逆运动学解析解可以通过几何方法推导得到。
对于2自由度平面机器人，已知末端执行器的位置(x, y)，求关节角度θ1和θ2：
r = sqrt(x² + y²)
cosθ2 = (x² + y² - l1² - l2²) / (2·l1·l2)
sinθ2 = ±sqrt(1 - cos²θ2)
θ2 = atan2(sinθ2, cosθ2)
k1 = l1 + l2·cosθ2
k2 = l2·sinθ2
θ1 = atan2(y, x) - atan2(k2, k1)其中l1和l2是两个连杆的长度。
5. 雅可比矩阵
5.1 雅可比矩阵的定义
雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是机器人速度运动学中的重要概念，它描述了关节速度与末端执行器速度之间的线性映射关系。
对于n自由度的机器人，雅可比矩阵J是一个6×n的矩阵，其中前3行对应线速度，后3行对应角速度。
5.2 雅可比矩阵的计算
雅可比矩阵的计算方法有以下几种：
几何法
几何法通过分析每个关节对末端执行器速度的贡献来计算雅可比矩阵。
对于旋转关节，第i列的计算公式为：
Jv_i = z_i-1 × (p_EE - p_i-1)
Jω_i = z_i-1对于移动关节，第i列的计算公式为：
Jv_i = z_i-1
Jω_i = 0其中z_i-1是第i-1个关节轴的单位向量，p_EE是末端执行器的位置，p_i-1是第i-1个关节的位置。
解析法
解析法通过对正运动学方程求导来计算雅可比矩阵。
对于位置部分，雅可比矩阵的前3行可以通过对位置向量求偏导得到：
Jv = ∂p_EE/∂q对于姿态部分，雅可比矩阵的后3行可以通过对旋转矩阵求偏导得到：
Jω = ∂R_EE/∂q × R_EE^T5.3 雅可比矩阵的性质
雅可比矩阵具有以下性质：
- 奇异性：当机器人处于奇异位形时，雅可比矩阵的行列式为0，此时机器人失去一个或多个自由度
- 可逆性：当雅可比矩阵可逆时，可以通过末端执行器速度计算关节速度
- 条件数：雅可比矩阵的条件数反映了机器人的灵巧性，条件数越小，机器人越灵巧
5.4 雅可比矩阵的应用
雅可比矩阵在机器人学中有广泛的应用：
- 速度控制：将末端执行器速度转换为关节速度
- 力控制：将末端执行器力转换为关节力矩
- 逆运动学：作为数值法求解逆运动学的工具
- 工作空间分析：分析机器人的灵巧性和奇异位形
6. 速度运动学
6.1 速度运动学的定义
速度运动学研究机器人关节速度与末端执行器速度之间的关系，是机器人实时控制的基础。
6.2 速度运动学的基本方程
速度运动学的基本方程为：
ν = J(q) × q_dot其中ν是末端执行器的速度向量（包括线速度和角速度），J(q)是雅可比矩阵，q_dot是关节速度向量。
6.3 关节速度的计算
当雅可比矩阵可逆时，可以通过末端执行器速度计算关节速度：
q_dot = J(q)⁻¹ × ν当雅可比矩阵不可逆时（处于奇异位形），可以使用伪逆来计算关节速度：
q_dot = J(q)⁺ × ν其中J(q)⁺是雅可比矩阵的伪逆。
6.4 加速度运动学
加速度运动学研究机器人关节加速度与末端执行器加速度之间的关系，其基本方程为：
ν_dot = J(q) × q_ddot + J_dot(q) × q_dot其中ν_dot是末端执行器的加速度向量，J_dot(q)是雅可比矩阵的时间导数，q_ddot是关节加速度向量。
7. 机器人运动学的应用
7.1 机器人轨迹规划
机器人轨迹规划是指根据任务要求，规划机器人末端执行器的运动轨迹。运动学在轨迹规划中的应用包括：
- 关节空间轨迹规划：在关节空间中规划轨迹，如多项式插值、样条曲线等
- 笛卡尔空间轨迹规划：在笛卡尔空间中规划轨迹，如直线、圆弧等
- 轨迹转换：将笛卡尔空间轨迹转换为关节空间轨迹
7.2 机器人运动控制
机器人运动控制是指根据轨迹规划的结果，控制机器人各关节的运动。运动学在运动控制中的应用包括：
- 位置控制：根据关节角度指令，控制机器人到达指定位置
- 速度控制：根据关节速度指令，控制机器人以指定速度运动
- 力控制：根据末端执行器力指令，控制机器人施加指定的力
7.3 机器人工作空间分析
机器人工作空间分析是指分析机器人末端执行器能够到达的空间范围。运动学在工作空间分析中的应用包括：
- 可达工作空间：末端执行器能够到达的所有位置的集合
- 灵活工作空间：末端执行器能够以任意姿态到达的位置的集合
- 工作空间边界：工作空间的边界形状
7.4 机器人设计
机器人设计是指根据任务要求，设计机器人的机械结构。运动学在机器人设计中的应用包括：
- 连杆长度设计：根据工作空间要求，设计连杆长度
- 关节类型选择：根据运动要求，选择关节类型（旋转关节或移动关节）
- 关节配置优化：优化关节配置，提高机器人的性能
8. 实战：使用Python实现机器人运动学计算
8.1 环境搭建
- 安装Python（推荐使用Python 3.7+）
- 安装必要的库：
pip install numpy scipy matplotlib8.2 2自由度平面机器人的正运动学
#!/usr/bin/env python3
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
class PlanarRobot:
def __init__(self, l1, l2):
"""初始化2自由度平面机器人"""
self.l1 = l1 # 第一个连杆的长度
self.l2 = l2 # 第二个连杆的长度
def forward_kinematics(self, theta1, theta2):
"""计算正运动学"""
# 将角度转换为弧度
theta1_rad = np.radians(theta1)
theta2_rad = np.radians(theta2)
# 计算末端执行器的位置
x = self.l1 * np.cos(theta1_rad) + self.l2 * np.cos(theta1_rad + theta2_rad)
y = self.l1 * np.sin(theta1_rad) + self.l2 * np.sin(theta1_rad + theta2_rad)
return x, y
def inverse_kinematics(self, x, y):
"""计算逆运动学"""
# 计算距离
r = np.sqrt(x**2 + y**2)
# 检查是否在工作空间内
if r > self.l1 + self.l2 or r < abs(self.l1 - self.l2):
return None, None
# 计算theta2
cos_theta2 = (x**2 + y**2 - self.l1**2 - self.l2**2) / (2 * self.l1 * self.l2)
sin_theta2 = np.sqrt(1 - cos_theta2**2)
# 两个可能的解
theta2_rad1 = np.arctan2(sin_theta2, cos_theta2)
theta2_rad2 = np.arctan2(-sin_theta2, cos_theta2)
# 计算theta1
k1 = self.l1 + self.l2 * cos_theta2
k2 = self.l2 * sin_theta2
theta1_rad1 = np.arctan2(y, x) - np.arctan2(k2, k1)
theta1_rad2 = np.arctan2(y, x) - np.arctan2(-k2, k1)
# 转换为角度
theta1_1 = np.degrees(theta1_rad1)
theta2_1 = np.degrees(theta2_rad1)
theta1_2 = np.degrees(theta1_rad2)
theta2_2 = np.degrees(theta2_rad2)
return (theta1_1, theta2_1), (theta1_2, theta2_2)
def plot_robot(self, theta1, theta2, ax=None):
"""绘制机器人"""
if ax is None:
fig, ax = plt.subplots()
# 将角度转换为弧度
theta1_rad = np.radians(theta1)
theta2_rad = np.radians(theta2)
# 计算关节点的位置
x0, y0 = 0, 0 # 基坐标
x1 = self.l1 * np.cos(theta1_rad)
y1 = self.l1 * np.sin(theta1_rad)
x2 = x1 + self.l2 * np.cos(theta1_rad + theta2_rad)
y2 = y1 + self.l2 * np.sin(theta1_rad + theta2_rad)
# 绘制连杆和关节
ax.plot([x0, x1, x2], [y0, y1, y2], 'o-', linewidth=2, markersize=8)
ax.plot(x0, y0, 's', markersize=10, color='black') # 基座
ax.plot(x1, y1, 'o', markersize=8, color='red') # 关节1
ax.plot(x2, y2, 'o', markersize=8, color='blue') # 关节2
# 设置坐标轴范围
ax.set_xlim([-(self.l1 + self.l2), self.l1 + self.l2])
ax.set_ylim([-(self.l1 + self.l2), self.l1 + self.l2])
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
return ax
def main():
# 创建机器人实例
robot = PlanarRobot(l1=1, l2=1)
# 测试正运动学
theta1, theta2 = 30, 60
x, y = robot.forward_kinematics(theta1, theta2)
print(f"正运动学测试：theta1={theta1}, theta2={theta2} → x={x:.2f}, y={y:.2f}")
# 测试逆运动学
x_target, y_target = 1.5, 0.5
sol1, sol2 = robot.inverse_kinematics(x_target, y_target)
if sol1 is not None:
print(f"逆运动学测试：x={x_target}, y={y_target}")
print(f"解1：theta1={sol1[0]:.2f}, theta2={sol1[1]:.2f}")
print(f"解2：theta1={sol2[0]:.2f}, theta2={sol2[1]:.2f}")
else:
print(f"逆运动学测试：x={x_target}, y={y_target} 不在工作空间内")
# 绘制机器人
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))
# 绘制正运动学结果
ax1 = robot.plot_robot(theta1, theta2, ax1)
ax1.set_title(f"正运动学：theta1={theta1}°, theta2={theta2}°")
# 绘制逆运动学结果
if sol1 is not None:
ax2 = robot.plot_robot(sol1[0], sol1[1], ax2)
ax2.set_title(f"逆运动学：x={x_target:.2f}, y={y_target:.2f}")
plt.tight_layout()
plt.show()
if __name__ == "__main__":
main()8.3 6自由度工业机器人的正运动学
#!/usr/bin/env python3
import numpy as np
class SerialRobot:
def __init__(self, dh_params):
"""初始化串联机器人
dh_params: DH参数列表，每个元素为(alpha, a, d, theta)
"""
self.dh_params = dh_params
self.n_joints = len(dh_params)
def dh_matrix(self, alpha, a, d, theta):
"""计算DH变换矩阵"""
alpha_rad = np.radians(alpha)
theta_rad = np.radians(theta)
return np.array([
[np.cos(theta_rad), -np.sin(theta_rad)*np.cos(alpha_rad), np.sin(theta_rad)*np.sin(alpha_rad), a*np.cos(theta_rad)],
[np.sin(theta_rad), np.cos(theta_rad)*np.cos(alpha_rad), -np.cos(theta_rad)*np.sin(alpha_rad), a*np.sin(theta_rad)],
[0, np.sin(alpha_rad), np.cos(alpha_rad), d],
[0, 0, 0, 1]
])
def forward_kinematics(self, q):
"""计算正运动学
q: 关节角度列表
"""
# 初始化变换矩阵
T = np.eye(4)
# 计算各连杆的变换矩阵并相乘
for i in range(self.n_joints):
alpha, a, d, theta = self.dh_params[i]
# 替换theta为关节角度
theta = q[i]
# 计算DH矩阵
T_i = self.dh_matrix(alpha, a, d, theta)
# 累乘变换矩阵
T = np.dot(T, T_i)
return T
def get_position(self, T):
"""从变换矩阵中提取位置"""
return T[:3, 3]
def get_orientation(self, T):
"""从变换矩阵中提取旋转矩阵"""
return T[:3, :3]
def main():
# PUMA 560机器人的DH参数
# (alpha, a, d, theta)
dh_params = [
(0, 0, 620, 0),
(-90, 431.8, 0, 0),
(0, -20.3, 150.05, 0),
(-90, 0, 431.8, 0),
(90, 0, 0, 0),
(-90, 0, 56.25, 0)
]
# 创建机器人实例
robot = SerialRobot(dh_params)
# 测试正运动学
q = [0, 0, 0, 0, 0, 0] # 关节角度
T = robot.forward_kinematics(q)
position = robot.get_position(T)
orientation = robot.get_orientation(T)
print("正运动学测试：")
print(f"关节角度：{q}")
print(f"末端执行器位置：{position}")
print(f"末端执行器姿态（旋转矩阵）：\n{orientation}")
# 测试不同关节角度
q = [30, 45, 60, 0, 0, 0]
T = robot.forward_kinematics(q)
position = robot.get_position(T)
print("\n正运动学测试（不同关节角度）：")
print(f"关节角度：{q}")
print(f"末端执行器位置：{position}")
if __name__ == "__main__":
main()9. 机器人运动学的挑战与解决方案
9.1 逆运动学的多解问题
挑战：逆运动学可能有多个解，如何选择合适的解
解决方案：
- 距离最近原则：选择与当前关节角度最接近的解
- 工作空间最优原则：选择机器人处于最佳工作空间的解
- 能耗最小原则：选择能耗最小的解
- 避障原则：选择避开障碍物的解
9.2 逆运动学的奇异位形问题
挑战：当机器人处于奇异位形时，逆运动学无解或存在无穷多解
解决方案：
- 奇异位形检测：在运动规划中检测并避开奇异位形
- 阻尼最小二乘法：使用伪逆计算关节速度，增加阻尼项提高稳定性
- 路径规划优化：优化路径，避免经过奇异位形
9.3 计算效率问题
挑战：复杂机器人的运动学计算可能非常耗时
解决方案：
- 解析解：对于特定结构的机器人，使用解析解
- 数值方法优化：优化数值方法的计算效率
- 并行计算：使用并行计算加速运动学计算
- 预计算：预计算并存储常用的运动学结果
9.4 模型误差问题
挑战：实际机器人与理论模型之间存在误差
解决方案：
- 参数识别：通过实验识别机器人的实际参数
- 误差补偿：在控制中补偿模型误差
- 视觉伺服：使用视觉反馈，直接控制末端执行器的位置
10. 机器人运动学的未来发展趋势
10.1 深度学习在运动学中的应用
深度学习在机器人运动学中的应用主要包括：
- 逆运动学求解：使用神经网络学习逆运动学的解
- 运动规划：使用深度学习方法进行运动规划
- 碰撞检测：使用深度学习方法进行碰撞检测
- 工作空间分析：使用深度学习方法分析工作空间
10.2 软体机器人运动学
软体机器人是一种新型机器人，其运动学与传统刚性机器人有很大不同：
- 连续体运动学：软体机器人的运动是连续的，需要使用连续体运动学
- 材料特性：软体机器人的运动受到材料特性的影响
- 变形建模：需要建立软体机器人的变形模型
10.3 多机器人协调运动学
多机器人系统的运动学需要考虑机器人之间的协调：
- 相对位姿：计算机器人之间的相对位姿
- 碰撞避免：避免机器人之间的碰撞
- 任务分配：根据运动学特性分配任务
10.4 实时运动学计算
随着机器人应用的扩展，实时运动学计算变得越来越重要：
- 硬件加速：使用GPU、FPGA等硬件加速运动学计算
- 算法优化：优化运动学算法，提高计算速度
- 在线学习：使用在线学习方法，适应环境变化
11. 总结与展望
机器人运动学是机器人学的基础，它为机器人的设计、控制和规划提供了理论依据。从简单的2自由度平面机器人到复杂的6自由度工业机器人，运动学的基本原理和方法都适用。
随着机器人技术的不断发展，机器人运动学也在不断演进。深度学习、软体机器人、多机器人系统等新兴领域为机器人运动学带来了新的挑战和机遇。
未来，机器人运动学将更加注重与其他学科的融合，如人工智能、材料科学、控制理论等，为机器人的智能化、柔性化和协作化发展提供更强大的理论支持。
同时，随着计算技术的不断进步，机器人运动学的计算效率将不断提高，为实时控制和复杂任务提供更好的保障。
12. 思考与练习
- 简述机器人运动学的研究内容和重要性。
- 比较不同位姿表示方法的优缺点。
- 解释Denavit-Hartenberg参数法的基本原理。
- 分析逆运动学的多解问题及其解决方案。
- 讨论雅可比矩阵在机器人运动学中的作用。
- 尝试使用Python实现3自由度平面机器人的正运动学和逆运动学。
- 分析机器人奇异位形的特点和处理方法。
- 探讨深度学习在机器人运动学中的应用前景。
13. 拓展阅读
- 《Robot Modeling and Control》 by Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar
- 《Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control》 by Kevin M. Lynch and Frank C. Park
- 《Introduction to Robotics: Mechanics and Control》 by John J. Craig
- 《Robotics, Vision and Control》 by Peter Corke
- 《Kinematics and Dynamics of Machinery》 by Robert L. Norton
- Python Robotics Toolbox：https://pypi.org/project/roboticstoolbox-python/
- ROS Kinematics：http://wiki.ros.org/kinematics