机器人动力学

核心知识点讲解

什么是机器人动力学?

机器人动力学是研究机器人运动与力之间关系的学科,主要关注以下两个方面:

  1. 逆动力学:已知机器人的运动状态(位置、速度、加速度),计算所需的关节力矩
  2. 正动力学:已知机器人的关节力矩,计算机器人的运动状态

牛顿-欧拉方程

牛顿-欧拉方程是机器人动力学的基础,包括:

  • 牛顿方程:描述物体的线运动与力的关系
  • 欧拉方程:描述物体的角运动与力矩的关系

拉格朗日方程

拉格朗日方程是另一种描述机器人动力学的方法,基于能量守恒原理:

τ = d/dt (∂L/∂q̇) - ∂L/∂q

其中,τ是关节力矩,L是拉格朗日函数(动能减去势能),q是关节角度,q̇是关节速度。

机器人动力学模型的组成部分

  1. 惯性项:与机器人质量分布相关的项
  2. 科里奥利力和离心力项:与关节速度相关的项
  3. 重力项:与重力场相关的项
  4. 摩擦力项:与关节摩擦相关的项

计算力矩控制

计算力矩控制是一种基于动力学模型的控制方法:

τ = M(q) [q̈_d + K_v (q̇_d - q̇) + K_p (q_d - q)] + C(q, q̇) q̇ + G(q)

其中,M(q)是惯性矩阵,C(q, q̇)是科里奥利力和离心力矩阵,G(q)是重力项,q_d是期望关节角度,K_p和K_v是比例和微分增益。

实用案例分析

2自由度平面机器人动力学计算

问题描述

计算一个2自由度平面机器人的逆动力学,已知关节角度、速度和加速度,求所需的关节力矩。

解决方案

import numpy as np

def inverse_dynamics_2dof(q, q_dot, q_ddot, m1, m2, l1, l2, g):
    """
    计算2自由度平面机器人的逆动力学
    
    参数:
    q: 关节角度 [q1, q2]
    q_dot: 关节速度 [q1_dot, q2_dot]
    q_ddot: 关节加速度 [q1_ddot, q2_ddot]
    m1, m2: 连杆质量
    l1, l2: 连杆长度
    g: 重力加速度
    
    返回:
    关节力矩 [tau1, tau2]
    """
    q1, q2 = q
    q1_dot, q2_dot = q_dot
    q1_ddot, q2_ddot = q_ddot
    
    # 计算三角函数值
    c2 = np.cos(q2)
    s2 = np.sin(q2)
    
    # 惯性矩阵 M
    M11 = (m1 + m2) * l1**2 + m2 * l2**2 + 2 * m2 * l1 * l2 * c2
    M12 = m2 * l2**2 + m2 * l1 * l2 * c2
    M21 = M12
    M22 = m2 * l2**2
    M = np.array([[M11, M12], [M21, M22]])
    
    # 科里奥利力和离心力矩阵 C
    C11 = -2 * m2 * l1 * l2 * s2 * q2_dot
    C12 = -m2 * l1 * l2 * s2 * q2_dot
    C21 = m2 * l1 * l2 * s2 * q1_dot
    C22 = 0
    C = np.array([[C11, C12], [C21, C22]])
    
    # 重力项 G
    G1 = (m1 + m2) * g * l1 * np.cos(q1) + m2 * g * l2 * np.cos(q1 + q2)
    G2 = m2 * g * l2 * np.cos(q1 + q2)
    G = np.array([G1, G2])
    
    # 计算关节力矩
    tau = M @ np.array([q1_ddot, q2_ddot]) + C @ np.array([q1_dot, q2_dot]) + G
    
    return tau

# 示例:计算给定状态下的关节力矩
q = [0, 0]  # 关节角度
q_dot = [0, 0]  # 关节速度
q_ddot = [1, 1]  # 关节加速度
m1, m2 = 1, 1  # 连杆质量
l1, l2 = 1, 1  # 连杆长度
g = 9.8  # 重力加速度

tau = inverse_dynamics_2dof(q, q_dot, q_ddot, m1, m2, l1, l2, g)
print(f"关节力矩: tau1 = {tau[0]:.2f}, tau2 = {tau[1]:.2f}")

6自由度工业机器人动力学仿真

问题描述

使用Python和PyBullet库仿真6自由度工业机器人的动力学行为。

解决方案

import pybullet as p
import pybullet_data
import time
import numpy as np

# 初始化PyBullet
physicsClient = p.connect(p.GUI)
p.setAdditionalSearchPath(pybullet_data.getDataPath())

# 设置重力
p.setGravity(0, 0, -9.8)

# 加载机器人模型
robot_id = p.loadURDF("urdf/ur5.urdf")

# 获取关节数量
num_joints = p.getNumJoints(robot_id)
print(f"机器人关节数量: {num_joints}")

# 控制参数
Kp = 500  # 比例增益
Kd = 50   # 微分增益

# 期望关节角度
q_des = np.array([0, -np.pi/2, np.pi/2, -np.pi/2, -np.pi/2, 0])

# 仿真循环
for i in range(1000):
    # 获取当前关节状态
    joint_states = p.getJointStates(robot_id, range(num_joints))
    q_current = np.array([state[0] for state in joint_states])
    q_dot_current = np.array([state[1] for state in joint_states])
    
    # 计算关节力矩(PD控制)
    tau = Kp * (q_des - q_current) - Kd * q_dot_current
    
    # 应用关节力矩
    for j in range(num_joints):
        p.setJointMotorControl2(robot_id, j, p.TORQUE_CONTROL, force=tau[j])
    
    # 步进仿真
    p.stepSimulation()
    time.sleep(1/240)  # 240Hz仿真频率

# 断开连接
p.disconnect()

动力学参数辨识

问题描述

通过实验数据辨识机器人的动力学参数,如质量、长度等。

解决方案

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

# 生成模拟实验数据
def generate_data(real_params, num_samples=100):
    m1, m2, l1, l2, g = real_params
    data = []
    
    for _ in range(num_samples):
        q = np.random.uniform(-np.pi, np.pi, 2)
        q_dot = np.random.uniform(-2, 2, 2)
        q_ddot = np.random.uniform(-1, 1, 2)
        
        # 使用真实参数计算力矩
        c2 = np.cos(q[1])
        s2 = np.sin(q[1])
        
        M11 = (m1 + m2) * l1**2 + m2 * l2**2 + 2 * m2 * l1 * l2 * c2
        M12 = m2 * l2**2 + m2 * l1 * l2 * c2
        M21 = M12
        M22 = m2 * l2**2
        M = np.array([[M11, M12], [M21, M22]])
        
        C11 = -2 * m2 * l1 * l2 * s2 * q_dot[1]
        C12 = -m2 * l1 * l2 * s2 * q_dot[1]
        C21 = m2 * l1 * l2 * s2 * q_dot[0]
        C22 = 0
        C = np.array([[C11, C12], [C21, C22]])
        
        G1 = (m1 + m2) * g * l1 * np.cos(q[0]) + m2 * g * l2 * np.cos(q[0] + q[1])
        G2 = m2 * g * l2 * np.cos(q[0] + q[1])
        G = np.array([G1, G2])
        
        tau = M @ q_ddot + C @ q_dot + G
        
        data.append((q, q_dot, q_ddot, tau))
    
    return data

# 动力学模型(用于参数辨识)
def dynamics_model(params, q, q_dot, q_ddot):
    m1, m2, l1, l2, g = params
    c2 = np.cos(q[1])
    s2 = np.sin(q[1])
    
    M11 = (m1 + m2) * l1**2 + m2 * l2**2 + 2 * m2 * l1 * l2 * c2
    M12 = m2 * l2**2 + m2 * l1 * l2 * c2
    M21 = M12
    M22 = m2 * l2**2
    M = np.array([[M11, M12], [M21, M22]])
    
    C11 = -2 * m2 * l1 * l2 * s2 * q_dot[1]
    C12 = -m2 * l1 * l2 * s2 * q_dot[1]
    C21 = m2 * l1 * l2 * s2 * q_dot[0]
    C22 = 0
    C = np.array([[C11, C12], [C21, C22]])
    
    G1 = (m1 + m2) * g * l1 * np.cos(q[0]) + m2 * g * l2 * np.cos(q[0] + q[1])
    G2 = m2 * g * l2 * np.cos(q[0] + q[1])
    G = np.array([G1, G2])
    
    tau = M @ q_ddot + C @ q_dot + G
    
    return tau

# 残差函数
def residual(params, data):
    res = []
    for q, q_dot, q_ddot, tau_real in data:
        tau_pred = dynamics_model(params, q, q_dot, q_ddot)
        res.extend(tau_real - tau_pred)
    return res

# 主函数
if __name__ == "__main__":
    # 真实参数
    real_params = [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 9.8]
    
    # 生成数据
    data = generate_data(real_params)
    
    # 初始猜测参数
    initial_guess = [0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 9.0]
    
    # 执行参数辨识
    result = least_squares(residual, initial_guess, args=(data,))
    
    # 打印结果
    print("真实参数:", real_params)
    print("辨识参数:", result.x)
    print("辨识误差:", np.abs(result.x - real_params))

总结

机器人动力学是机器人学中的重要基础,它描述了机器人运动与力之间的关系。通过本章节的学习,我们了解了:

  1. 机器人动力学的基本概念和原理
  2. 牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程的应用
  3. 机器人动力学模型的组成部分
  4. 计算力矩控制的原理和应用
  5. 2自由度平面机器人的动力学计算
  6. 使用PyBullet进行机器人动力学仿真
  7. 动力学参数辨识的方法

这些知识对于理解机器人的运动控制、设计高性能控制器以及优化机器人结构都具有重要意义。在实际应用中,准确的动力学模型可以提高机器人的控制精度和响应速度,从而提升机器人的整体性能。

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